Como analisar passo a passo o problema do jarro de água?

Ei! Como fornecedor de jarros de água, já me deparei com o problema clássico dos jarros de água algumas vezes. É um pequeno quebra-cabeças divertido que pode nos ensinar muito sobre como resolver problemas. Então, vamos explicar passo a passo como analisar o problema do jarro de água.

Compreendendo o problema

Em primeiro lugar, qual é o problema do jarro de água? Normalmente é assim: você tem dois ou mais jarros de água com capacidades diferentes e seu objetivo é medir uma quantidade específica de água usando esses jarros. Por exemplo, você pode ter uma jarra de 3 litros e uma jarra de 5 litros e precisa medir exatamente 4 litros de água.

Vamos começar com uma caixa simples de dois jarros. Digamos que temos um jarro pequeno (J_1) com capacidade de (a) litros e um jarro grande (J_2) com capacidade de (b) litros ((a <b)), e queremos medir (c) litros de água.

Passo 1: Definir as Variáveis ​​e Restrições

Precisamos definir claramente o que podemos fazer com os jarros. As operações básicas que podemos realizar são:

1. Encha uma jarra completamente.
2. Esvazie um jarro completamente.
3. Despeje água de um jarro para outro até que o jarro de origem esteja vazio ou o jarro de destino esteja cheio.

Seja (x) a quantidade de água na jarra (J_1) e (y) a quantidade de água na jarra (J_2). O estado inicial é ((x = 0,y = 0)), pois ambos os jarros estão vazios no início. As restrições são (0\leq x\leq a) e (0\leq y\leq b).

Etapa 2: Analise o problema usando uma abordagem estado-espaço

Um espaço de estados é um conjunto de todos os estados possíveis do sistema. No nosso caso, o estado do sistema é definido pelo par ((x,y)). Podemos representar o espaço de estados como uma grade, onde o eixo (x) representa a quantidade de água na jarra (J_1) e o eixo (y) representa a quantidade de água na jarra (J_2).

Tomemos como exemplo uma jarra de 3 litros ((a = 3)) e uma jarra de 5 litros ((b = 5)) e queremos medir 4 litros ((c = 4)). O estado inicial é ((0,0)).

• Enchendo uma jarra:
  • Se enchermos a jarra de 3 litros, o novo estado é ((3,0)). Se enchermos a jarra de 5 litros, o novo estado é ((0,5)).
• Esvaziar uma jarra:
  • Se esvaziarmos a jarra de 3 litros do estado ((3,0)), voltamos para ((0,0)). Se esvaziarmos a jarra de 5 litros do estado ((0,5)), também voltaremos para ((0,0)).
• Derramando água:
  • Suponha que estejamos no estado ((3,0)) e despejemos água da jarra de 3 litros para a jarra de 5 litros. O novo estado é ((0,3)). Se estivermos no estado ((0,5)) e despejarmos água da jarra de 5 litros para a jarra de 3 litros, obtemos ((3,2)) porque só podemos encher completamente a jarra de 3 litros, deixando 2 litros na jarra de 5 litros.

Etapa 3: use um algoritmo de pesquisa

Para encontrar uma sequência de operações que nos leve ao estado desejado ((x,y)) onde (x + y=c), podemos usar um algoritmo de busca. Um dos algoritmos mais simples é a primeira pesquisa em largura (BFS).

O BFS explora todos os estados no nível atual antes de passar para o próximo nível. Partimos do estado inicial ((0,0)) e geramos todos os estados possíveis que podem ser alcançados a partir dele usando as três operações (encher, esvaziar, despejar). Depois geramos todos os estados possíveis a partir desses novos estados e assim por diante.

Vamos implementar um algoritmo BFS simples em pseudocódigo semelhante a Python:

das coleções importar deque def water_jug_problem(a, b, c): fila = deque([(0, 0)]) visitado = set([(0, 0)]) parent = {} while fila: x, y = queue.popleft() if x + y == c: path = [] while (x, y) != (0, 0): path.append((x, y)) x, y = parent[(x, y)] path.append((0, 0)) path.reverse() return path # Preencha o primeiro jarro se (a, y) não estiver visitado: queue.append((a, y)) visitado.add((a, y)) parent[(a, y)] = (x, y) # Preencha o segundo jarro se (x, b) não estiver visitado: queue.append((x, b)) visitado.add((x, b)) parent[(x, b)] = (x, y) # Esvazie o primeiro jarro se (0, y) não estiver visitado: queue.append((0, y)) visitado.add((0, y)) parent[(0, y)] = (x, y) # Esvazie o segundo jarro se (x, 0) não estiver visitado: queue.append((x, 0)) visitado.add((x, 0)) pai[(x, 0)] = (x, y) # Despeje do primeiro para o segundo despeje = min(x, b - y) new_x = x - despeje new_y = y + despeje if (new_x, new_y) não em visitado: queue.append((new_x, new_y)) visitado.add((new_x, new_y)) parent[(new_x, new_y)] = (x, y) # Despeje do segundo para o primeiro pour = min(y, a - x) new_x = x + pour new_y = y - despeje if (new_x, new_y) não visitado: fila.append((new_x, new_y)) visitado.add((new_x, new_y)) pai[(new_x, new_y)] = (x, y) return Nenhum

Etapa 4: interprete os resultados

Assim que o algoritmo encontrar uma solução, podemos interpretar a sequência de estados para compreender as etapas necessárias para medir a quantidade desejada de água.

Por exemplo, se o caminho retornado pelo algoritmo for ((0,0)\to(0,5)\to(3,2)\to(0,2)\to(2,0)\to(2,5)\to(3,4)), podemos traduzir esses estados em operações:

1. Encha a jarra de 5 litros: ((0,0)\to(0,5))
2. Despeje da jarra de 5 litros para a jarra de 3 litros: ((0,5)\to(3,2))
3. Esvazie o jarro de 3 litros: ((3,2)\to(0,2))
4. Despeje os 2 litros da jarra de 5 litros para a jarra de 3 litros: ((0,2)\to(2,0))
5. Encha novamente a jarra de 5 litros: ((2,0)\to(2,5))
6. Despeje da jarra de 5 litros para a jarra de 3 litros até encher: ((2,5)\to(3,4))

Aplicações do mundo real e nossos jarros de água

Agora, você deve estar se perguntando: o que isso tem a ver com nossos jarros de água? Bem, entender como resolver o problema do jarro de água pode nos ajudar em vários cenários do mundo real. Por exemplo, num processo de fabrico onde precisamos misturar diferentes volumes de líquidos com precisão, ou num ambiente de laboratório onde medições precisas são cruciais.

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Referências

• Cormen, TH, Leiserson, CE, Rivest, RL e Stein, C. (2009). Introdução aos algoritmos. COM pressione.
• Nilsson, Nova Jersey (1971). Métodos de resolução de problemas em inteligência artificial. McGraw-Hill.